Le mot adjoint est le plus souvent accompagné de la préposition de quand il évoque la fonction que l’adjoint est appelé à exercer :

L’article défini serait de mise si l’on voulait évoquer plutôt le service dont relève l’adjoint :

La préposition à s’emploie avec un complément de lieu ou un complément nom de personne :

L’adjoint au directeur occupe un poste fonctionnel; il seconde le directeur dans certaines de ses tâches mais n’a pas la même autonomie que le directeur adjoint.

Le directeur adjoint est titulaire de l’autorité hiérarchique; il a une compétence comparable à celle du directeur et le remplace en cas d’absence ou d’empêchement.