L’expression premier ministre prend deux minuscules si le titre désigne la personne dont on parle :

On met deux majuscules initiales si l’on s’adresse à la personne, dans une formule d’appel ou de salutation d’une lettre par exemple :

La même règle s’applique à tous les titres de fonctions.

Renseignements complémentaires

voir TITRES DE FONCTIONS et MINISTRE/SECRÉTAIRE À/DE.